ТРЕТИЙ ЭТАП
Numeri fracti по-русски
«Несть сё дивно, что в целых, а то похвально, что в долях...»
Из славянской рукописи XVI века
Из славянской рукописи XVI века
В первых учебниках математики (VII в.) дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В русском языке слово дробь появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» — разбивать, ломать на части. При записи числа использовалась горизонтальная черта.
Но несть той арифметик,
Ижо в целых ответчик,
А в долях сий ничтоже,
Отвещати возможе.
емже о ты радеяй,
Буди в частях умеяй.
Но несть той арифметик,
Ижо в целых ответчик,
А в долях сий ничтоже,
Отвещати возможе.
емже о ты радеяй,
Буди в частях умеяй.
1136 год КИРИК НОВГОРОДСКИЙ
Кирик - первый русский математик - занимался вопросами хронологии и календаря. В его рукописной книге «Учение им же ведати человеку числа всех лет», т.е. «Наставление, как человеку познать счисление лет» применяется деление часа на пятые, двадцать пятые и т.д. доли, которые он называл «дробными часами» или «часцами». Доходит он до седьмых дробных часов, которых в дне или ночи 937 500, причем говорит, что от седьмых дробных уже ничего не получается.
Середина XVI века ЕРМОЛАЙ ЕРАЗМ
Выступление Ермолая Еразма сыграло определенную роль в процессе становления сошного письма в Московском государстве, хотя и не было принято буквально. Четверть и десятина остались основными мерами для землемеров, но в обработку результатов измерений ввели значительно более крупную меру-соху. Исследователь литературной деятельности Ермолая Еразма В. Ф. Ржига отмечает, что проект оказался весьма плодотворным, получив осуществление в историческом процессе введения большой сохи, начавшемся с середины XVI в. Ермолая Еразма можно рассматривать как одного из первых русских метрологов-теоретиков, притом такого, который стремился сочетать решение метрологических и социальных вопросов.
1703 год
МАГНИТСКИЙ Л.Ф.
МАГНИТСКИЙ Л.Ф.
Выходит в свет первый русский печатный учебник по математике «Арифметика». Во 2-ой части этой книги “О числах ломаных или с долями” подробно излагается
учение о дробях.
Оно у Магницкого носит почти современный характер. Магницкий подробнее, чем современные учебники, останавливается на вычислении долей. Дроби Магницкий рассматривает как именованные числа (не просто 1/2, а 1/2 рубля, пуда и т.п.), а действия с дробями изучает в процессе решения задач. Что есть число ломаное, Магницкий отвечает: «Число ломаное не что же иное есть, токмо часть вещи, числом объявленная, сиречь полтина есть половина рубля, а пишется сице 1/2 рубля, или 1/4 рубля, или 1/6 рубля, или две пятые части 2/5 и всякие вещи яковые либо часть, объявлена числом, то есть ломаное число». Магницкий приводит название всех правильных дробей со знаменателями от 2 до 10.
учение о дробях.
Оно у Магницкого носит почти современный характер. Магницкий подробнее, чем современные учебники, останавливается на вычислении долей. Дроби Магницкий рассматривает как именованные числа (не просто 1/2, а 1/2 рубля, пуда и т.п.), а действия с дробями изучает в процессе решения задач. Что есть число ломаное, Магницкий отвечает: «Число ломаное не что же иное есть, токмо часть вещи, числом объявленная, сиречь полтина есть половина рубля, а пишется сице 1/2 рубля, или 1/4 рубля, или 1/6 рубля, или две пятые части 2/5 и всякие вещи яковые либо часть, объявлена числом, то есть ломаное число». Магницкий приводит название всех правильных дробей со знаменателями от 2 до 10.
В старых руководствах есть следующие названия дробей на Руси (раскрыть список):
1/2 - половина, полтина
1/3 – треть
1/4 – четь
1/6 – полтреть
1/8 - полчеть
1/12 –полполтреть
1/16 - полполчеть
1/24 – полполполтреть (малая треть)
1/32 – полполполчеть (малая четь)
1/5 – пятина
1/7 - седьмина
1/10 – десятина.
О применении дробей в России XVII века можно прочитать в книге В.Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики» следующее: «В рукописи XVIIв. «Статия численная о всяких долях указ «начинается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя. При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7 – седмина, 1/5 – пятина, 1/10 – десятина; доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например 5/13 – пять тринадцатых жеребьёв. Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников… Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним».
1/3 – треть
1/4 – четь
1/6 – полтреть
1/8 - полчеть
1/12 –полполтреть
1/16 - полполчеть
1/24 – полполполтреть (малая треть)
1/32 – полполполчеть (малая четь)
1/5 – пятина
1/7 - седьмина
1/10 – десятина.
О применении дробей в России XVII века можно прочитать в книге В.Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики» следующее: «В рукописи XVIIв. «Статия численная о всяких долях указ «начинается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя. При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7 – седмина, 1/5 – пятина, 1/10 – десятина; доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например 5/13 – пять тринадцатых жеребьёв. Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников… Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним».
СОШНАЯ АРИФМЕТИКА
описание земельных владений в городах и сельских местностях для поземельного обложения в России XV-XVII веков. Древнейшими сохранившимися памятниками сошного письма являются описания новгородских пятин, осуществленные в 90-х гг. XV века после присоединения Новгорода к Москве. Известно, что при Иване III такие же описания производились и в других присоединенных землях. Этот порядок предусматривало измерение земельных площадей (в городах - застроенных дворами), перевод полученных данных в условные податные единицы (сохи) и определение размера прямых налогов.
Введение «большой сохи» должно было способствовать унификации налоговой системы. Для расчета налогов было необходимо вычислить коэффициенты с учетом качества земли и сословного положения владельцев. На их основании устанавливалась условная мера — соха.
СОШНАЯ АРИФМЕТИКА решала две ОСНОВНЫЕ задачи:
1) разработка арифметической системы действий с дробями для обеспечения возникающих вычислительных нужд,
2) «привязывала» эту арифметическую систему к инструменту, посредством которого можно было более рационально выполнять необходимые подсчеты.
В рецензии на книгу «Арифметика в Московском государстве XVI века» Р.А. Симонов пишет о расшифровке древнерусских способов счета в системе «сошных дробей» (подсчета налогов с сохи), предложенной М.А. Цайгером. «М.А. Цайгер воспроизводит одну из таких формул, которая в древнерусских сошных дробях звучит так: «Четь да полчети да пол-полтрети да пол-полполтрети, итого треть и полтрети сохи». В современном обозначении дробей она может быть выражена следующим равенством: 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/24 = 1/3+1/6. Смысл равенства состоял в переводе одних сошных дробей в другие, что было нужно для рационализации вычислений при взимании налога с угодий, состоящих из участков владений различной величины и ценности (пашни, леса, луга и пр.)…
Оригинальность Цайгера состоит в том, что он перевел сошные значения в денежный счет московскими деньгами – московками, которым жители средневековой Московии легко оперировали. «Поскольку в 8 алтынах содержится 48 денег, значения третных и четвертных дробей как бы увеличивались в 48 раз, в результате чего дробные слагаемые как бы превращались в целые числа, оперировать с которыми служилые люди умели. После получения окончательного результата его обратно превращали в дробь по тому же принципу (т. е. из расчета, что 8 алтын равно единице)» <…> «В левой части утверждения: четь = 2 алт[ына];полчети = 1 алт[ын]; пол-полтрети = 4 ден[ги]; пол-пол-полтрети = 2 ден[ги] 2 алт[ына] + 1 алт[ын] + 4 ден[ги] + 2 ден[ги ] = 3 алт[ына] + 6 ден[ег] = 4 алт[ына]. В правой части утверждения: треть = 2 алт[ына] 4 ден[ги];полтрети = 1 алт[ын] 2 ден[ги]. 2 алт[ына] 4 ден[ги] + 1 алт[ын] 2 ден[ги] = 3 алт[ына] + 6 ден[ег] = 4 алт[ына]. Левая часть равна правой, т. е. утверждение является верным».
Изящное решение, т.к. привычные в Средневековье 8 алтын-48 денег делится как на три, так и на четыре без остатка – не будет дробных частей. Вполне вероятно, что именно таким практическим образом, через перевод сошных измерений в денежные, и решались задачи по расчету налогов.
Введение «большой сохи» должно было способствовать унификации налоговой системы. Для расчета налогов было необходимо вычислить коэффициенты с учетом качества земли и сословного положения владельцев. На их основании устанавливалась условная мера — соха.
СОШНАЯ АРИФМЕТИКА решала две ОСНОВНЫЕ задачи:
1) разработка арифметической системы действий с дробями для обеспечения возникающих вычислительных нужд,
2) «привязывала» эту арифметическую систему к инструменту, посредством которого можно было более рационально выполнять необходимые подсчеты.
В рецензии на книгу «Арифметика в Московском государстве XVI века» Р.А. Симонов пишет о расшифровке древнерусских способов счета в системе «сошных дробей» (подсчета налогов с сохи), предложенной М.А. Цайгером. «М.А. Цайгер воспроизводит одну из таких формул, которая в древнерусских сошных дробях звучит так: «Четь да полчети да пол-полтрети да пол-полполтрети, итого треть и полтрети сохи». В современном обозначении дробей она может быть выражена следующим равенством: 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/24 = 1/3+1/6. Смысл равенства состоял в переводе одних сошных дробей в другие, что было нужно для рационализации вычислений при взимании налога с угодий, состоящих из участков владений различной величины и ценности (пашни, леса, луга и пр.)…
Оригинальность Цайгера состоит в том, что он перевел сошные значения в денежный счет московскими деньгами – московками, которым жители средневековой Московии легко оперировали. «Поскольку в 8 алтынах содержится 48 денег, значения третных и четвертных дробей как бы увеличивались в 48 раз, в результате чего дробные слагаемые как бы превращались в целые числа, оперировать с которыми служилые люди умели. После получения окончательного результата его обратно превращали в дробь по тому же принципу (т. е. из расчета, что 8 алтын равно единице)» <…> «В левой части утверждения: четь = 2 алт[ына];полчети = 1 алт[ын]; пол-полтрети = 4 ден[ги]; пол-пол-полтрети = 2 ден[ги] 2 алт[ына] + 1 алт[ын] + 4 ден[ги] + 2 ден[ги ] = 3 алт[ына] + 6 ден[ег] = 4 алт[ына]. В правой части утверждения: треть = 2 алт[ына] 4 ден[ги];полтрети = 1 алт[ын] 2 ден[ги]. 2 алт[ына] 4 ден[ги] + 1 алт[ын] 2 ден[ги] = 3 алт[ына] + 6 ден[ег] = 4 алт[ына]. Левая часть равна правой, т. е. утверждение является верным».
Изящное решение, т.к. привычные в Средневековье 8 алтын-48 денег делится как на три, так и на четыре без остатка – не будет дробных частей. Вполне вероятно, что именно таким практическим образом, через перевод сошных измерений в денежные, и решались задачи по расчету налогов.
Особенности сошной арифметики
- Сложение двух одинаковых «сошных» дробей дает дробь ближайшего высшего разряда.
- Дроби суммировались без приведения к общему знаменателю.
- Для сложения сошных дробей иногда их переводили в другие сошные дроби, что было нужно для рационализации вычислений при взимании налога с угодий, состоящих из участков владений различной величины и ценности.
- В сошной арифметике результаты имели точность до 1/48. Если же в итоге получались более мелкие дроби, то их попросту отбрасывали, полагая, что их учет не повлияет по существу на результат.
«Роспись сошному письму, как которая кость с которою костью кладется»
Рукопись XVII века «Роспись сошному письму, как которая кость с которою костью кладется» представляет собой таблицу сумм, получаемых от сложения различных частей сохи (ссылка на работу с рукописью).
- 1Для чего использовалась рукопись?Сошное письмо выросло на земледельческой почве, но стремление московской финансовой политики ввести однообразие в податную систему привело к податной реформе середины XVI века и к тому, что единица измерения, соха, была приноровлена и к потребностям городского обложения. Это было тем удобнее сделать, что соха с самого начала была не земельной мерой, а финансовой единицей, выражавшей определённых размеров капитал, с которого московское правительство брало часть процентов в виде подати. В рукописи были представлены таблицы для удобства переводов.
- 2Что содержала рукопись?Лица, проводившие замеры земельных владений в сельской местности и дворов по городам, имели с собой инструкции — «книги сошного письма», такие рассматриваемая нами "Рукопись...", имевшие описание русских поземельных мер и дававшие указания по их применению при замере пашни, а также исчислению окладных единиц (сох и вытей) с учётом качества земли (добрая, средняя или худая) и категории землевладения (земля служилая, церковная или чёрная).
- 3Как происходил перевод?При измерении земель и угодий, принадлежащих к владению, учитывались:
- пашня паханная, перелог и лесом поросшая (в «четвертях»),
- количество сена (в «копнах»);
- количество леса (в десятинах и верстах).
Инструменты сошной арифметики
С XVI века в России большой популярностью пользовался дощаной счет – вычисления при помощи прибора, бывшего прообразом русских счетов. Он позволял быстро и легко производить сложные арифметические действия. Дощаной счет имел весьма широкое распространение среди торговцев, служащих московских приказов, «мерщиков» - землемеров, монастырских экономов и т.д.
Как пишет историк Р.А. Симонов: «Первоначально «дощаный счет» был довольно громоздким прибором, содержащим четыре вычислительных поля, представлявших собой деревянные рамы с закрепленными прутьями/шнурами с нанизанными счетными костяшками для денежного счета, фискальных расчетов, вычисления мер емкостей и весов. В отличие от современных счетов, «дощаный счет» имел в нижней части прутья/шнуры для счета четями и третями с их двоичными долями». «Несмотря на внимание историков науки к «дощаному счету», он не до конца изучен», - сетует ученый.
Как пишет историк Р.А. Симонов: «Первоначально «дощаный счет» был довольно громоздким прибором, содержащим четыре вычислительных поля, представлявших собой деревянные рамы с закрепленными прутьями/шнурами с нанизанными счетными костяшками для денежного счета, фискальных расчетов, вычисления мер емкостей и весов. В отличие от современных счетов, «дощаный счет» имел в нижней части прутья/шнуры для счета четями и третями с их двоичными долями». «Несмотря на внимание историков науки к «дощаному счету», он не до конца изучен», - сетует ученый.
В первоначальной форме дощаной счет был специально приспособлен к нуждам сошной арифметики.
- 1История появления дощаного счёта.?Долгое время считалось, что русские счеты ведут свое происхождение от китайского суань-паня, и лишь в начале 50-х годов XX века ленинградский ученый И.Г. Спасский убедительно показал оригинальное русское происхождение этого счетного прибора — у него, во-первых, горизонтальное расположение спиц с косточками и, во-вторых, для представления чисел использована десятичнаая (а не пятеричная) система счисления.
Десятичный строй счетов — довольно веское основание для того, чтобы признать временем возникновения этого прибора XVI век, когда десятичный принцип счисления был впервые применен в денежном деле России.
В 30-е годы XVI века московское правительство, возглавляемое Еленой Глинской, матерью малолетнего Ивана Грозного, провело денежную реформу, объединив московскую и новгородскую денежные системы. Московская деньга, составлявшая в то время 1/200 московского рубля, и ее половина — полушка — стали половиной и четвертью новой основной монетной единицы, которая получила название «копейки». Благодаря введению копейки рубль стал делиться на 100 основных единиц. - 2Что представлял собой дощатый счет?Дощаный счёт представлял собой два складывающихся ящика. Каждый ящик разгораживался надвое (позже только внизу); второй ящик был необходим ввиду особенностей денежного счёта. Внутри ящика на натянутые шнуры или проволоку нанизывались кости. В соответствии с десятичной системой счисления ряды для целых чисел имели по 9 или 10 костей; операции с дробями производились на неполных рядах: ряд из трёх костей составлял три трети, ряд из четырёх костей — четыре четверти (чети). Ниже располагались ряды, в которых было по одной кости: каждая кость представляла половину от той дроби, под которой она располагалась (например, кость расположенная под рядом из трех костей, составляла половину от одной трети, кость под ней — половину от половины одной трети, и т. д.). Сложение двух одинаковых «сошных» дробей дает дробь ближайшего высшего разряда, например, 1/12+1/12=1/6 и т.п. На счетах сложение двух таких дробей соответствует переход к ближайшей вышестоящей костяшке.
- 3Почему изменился внешний вид?С переходом к арабским цифрам и отменой сошного письма дощаный счет утратил к конце XVII века ряды для дробей и в начале XVIII века лишился второго ящика и приобрел современный вид (сохранившийся в счетах один неполный ряд, обычно из четырех костей, отделяет два ряда для десятых и сотых единиц, а также служат для счета четвертей и половинок). В 1658 году в “Переписной книге деловой казны Патриарха Никона” вместо “дощатый счет” употребляется слово “счёты” ("счоты").
Переход к ЦИФИРНОМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЮ чисел
В допетровские времена русские пользовались старинным способом счета, который известен нам ныне под словом «цифирь».
Цифирь – это местный аналог римской системы счисления, где вместо привычных для нас цифр использовались кириллические буквы, но с рядом своих характерных особенностей, которые существенно усложняли ее использование.
Подобные цифири системы счисления не были чем-то редким и исключительным до массового распространения арабских цифр, к таким методам подсчета прибегали в разные времена разные народы. Например, алфавитной системой счисления очень долгое время пользовались тибетцы и, отдавая дань традиции, они периодически и по сей день используют такой способ записи цифр для обозначения книжных страниц.
Некоторые моменты в использовании цифири просты и доступны для восприятия: аз – это единица, веди – два и т.д. Во избежание возможной путаницы такие цифры сверху сопровождались дополнительным волнообразным символом – титлом, который отличал их от обычных букв текста. Цифры большего номинала имели другие, специальные символические изображения в виде дополнительных точек и черточек.
Сложности в освоении цифири, впрочем, начинались очень скоро, уже с первых двузначных чисел. Буквенное кириллическое обозначение 10 – i. Особенность написания цифр от 11 до 19 заключалась в том, что их надо было читать справа налево. Соответственно число 11, правильно записанное цифирью, выглядело бы как аi (1 + 10, грубо говоря). Навеки пропав из математики, эта особенность старорусского счета накрепко засела в языке. Вдумайтесь: один-на-дцать. Сначала в слове фигурирует не порядковое обозначение десятка, а цифра, следующая второй.
Если в римской системе счисления для обозначения цифр от 1 до 10 и для обозначения целых десятков используются, чаще всего, одни и те же буквы, то в цифири все абсолютно не так. Система тяготела к тому, чтобы наделить каждую букву прикрепленным к ней значением. Литерой «к» обозначали 20, вышедшая из употребления буква ѱ – 700, а вот, например, «ц» означала 900.
Как и у других непозиционных представлений, проблемы при работе с дробными значениями и неудобство выполнения сложных алгебраических операций – умножение и деление. Также не было 0, который играл большую роль в развитии точных наук. Именно поэтому в восемнадцатом веке, при Петре I, начали использовать систему, которая использует числа от 0 до 9 – десятичную. Используем мы её и сейчас.
Цифирь – это местный аналог римской системы счисления, где вместо привычных для нас цифр использовались кириллические буквы, но с рядом своих характерных особенностей, которые существенно усложняли ее использование.
Подобные цифири системы счисления не были чем-то редким и исключительным до массового распространения арабских цифр, к таким методам подсчета прибегали в разные времена разные народы. Например, алфавитной системой счисления очень долгое время пользовались тибетцы и, отдавая дань традиции, они периодически и по сей день используют такой способ записи цифр для обозначения книжных страниц.
Некоторые моменты в использовании цифири просты и доступны для восприятия: аз – это единица, веди – два и т.д. Во избежание возможной путаницы такие цифры сверху сопровождались дополнительным волнообразным символом – титлом, который отличал их от обычных букв текста. Цифры большего номинала имели другие, специальные символические изображения в виде дополнительных точек и черточек.
Сложности в освоении цифири, впрочем, начинались очень скоро, уже с первых двузначных чисел. Буквенное кириллическое обозначение 10 – i. Особенность написания цифр от 11 до 19 заключалась в том, что их надо было читать справа налево. Соответственно число 11, правильно записанное цифирью, выглядело бы как аi (1 + 10, грубо говоря). Навеки пропав из математики, эта особенность старорусского счета накрепко засела в языке. Вдумайтесь: один-на-дцать. Сначала в слове фигурирует не порядковое обозначение десятка, а цифра, следующая второй.
Если в римской системе счисления для обозначения цифр от 1 до 10 и для обозначения целых десятков используются, чаще всего, одни и те же буквы, то в цифири все абсолютно не так. Система тяготела к тому, чтобы наделить каждую букву прикрепленным к ней значением. Литерой «к» обозначали 20, вышедшая из употребления буква ѱ – 700, а вот, например, «ц» означала 900.
Как и у других непозиционных представлений, проблемы при работе с дробными значениями и неудобство выполнения сложных алгебраических операций – умножение и деление. Также не было 0, который играл большую роль в развитии точных наук. Именно поэтому в восемнадцатом веке, при Петре I, начали использовать систему, которая использует числа от 0 до 9 – десятичную. Используем мы её и сейчас.
Источники информации:
1.Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Кн. для учащихся 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова. – М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. – 320 с.: ил.
2. Глейзер Г. И. История математики в школе: IV-VI кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.
1. Беллюстин В.К. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики
2. Дроби на Руси
3. Система древнерусских дробей
4. Беллюстин В. К. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. — 1940
5. Бобынин В. В. Очерки истории развития физико-математических знаний в России. Вып. 2. — 1893, стр. 61
6. Симонов Р.А. К истории счета в допетровской Руси
Спасский И.Г. Происхождение и история русских счетов // Историко-математические исследования. 1952. Вып. V. стр. 306
